Ejercicio de probabilidad

Se lanzan 2 dados al aire y se anotan la suma de los puntos obtenidos. Se piden:

1. La probabilidad de que salga el 7.
2. La probabilidad del numero obtenido sea par.
3. la probabilidad de que el numero obtenido sea múltiplo de 3.

Solución:

• La probabilidad de que salga 7.

P (7) = 6 / 36 = 1/6 ⇒0.16 

0.16 * 100% = 16%

• La probabilidad de que el numero sea par.

P ( Par ) = 18 / 36 = 1 / 2 ⇒ 0.5

0.5 * 100% = 50%

• La probabilidad de que el numero obtenido sea múltiplo de 3.

 P ( 3 ) = 12 / 36 = 1 / 3 ⇒ 0.33

0.33 * 100% = 33% 

Técnicas de conteo

Principio multiplicación sea A,B,C eventos

A  ⇒  N1 maneras diferentes

B ⇒ N2 maneras diferenetes

C ⇒ N3 maneras diferentes 

El numero de maneras que ocurren a la vez esta dada en PN:

N1*N2*N3

Combinaciones

Si de un grupo N se desean tomar objetos distintos, el numero de combinaciones esta dado por  

NCr = N! / r! (n-r)

N! =  Nx (n-1) * (N-2) * (N-3)........

Entonces tomando un ejemplo numérico seria :

5! = 5*4*3*2*1 = 120

3! = 3*2*1 = 6

Ejemplo: 

Cuantos grupos de 2 pueden formar de un total de 11

N = 11

R = 2 

11C2 = 11! / 2! 9! 

= 11*10*9! / 2! 9! 

se deja en 9!  para si eliminarse con el de abajo y sea mas fácil de resolver el ejercicio 

= 110 /2 = 55 

Y nuestra respues final de 55 grupos 

Permutaciones

Ejemplo.

¿De cuantas manera los competidores pueden obtener un premio en una prueba olímpica?

10P3 = 10! / 7!  = 10*9*8*7!  / 7!  

Igual al ejercisio pasado se deja en 7 para eliminarse.

= 10*9*8 = 720 

Probabilidad condicional 

La probabilidad que un evento "A" ocurra dado que ya ocurrio un evento "B" esta dado por:

P ( A| B ) = P ( AnB ) / P (B)

Ejemplo.

El 80% de las empresas pequeñas del sector de alimentos no estan preparada para el "TLC" con estados unidos, al igual que el 63%  de las empresas medianas  y el 30% de las grandes.

• El 80% de las empresas del sector son pequeñas 
• El 15% son medianas
• El resto son grandes

Sea PE:  " La empresa pequeña"

Pr: "La empresa esta preparada"

P ( Pr | PE ) = P (Pr ∩ PE )  /  P (PE) =

16/100  /   80/100  = 16/80 = 0.2 

Se aplica la ley de la oreja y le hace la división correspondida.

Probabilidad Total 

P (C) = Σ (C | A )

En una Urna 1 hay 3 bolas blancas y 4 negras si se extrae una bola de la Urna 1 y se ingresa en la Urna 2 esta contiene 5 bolas blancas y 4 negras, encuentre la probabilidad de sacar una bola blanca de la segunda Urna.

Eventos: 

B1: Extraer una bola de la urna 1.
N1: Extraer una bola negra de la urna 1.
B2: Extraer una bola blanca de la urna 2.

                                                  Urna 1                          Urna 2 si es blanca 

P (B1) =  3/7 ⇒ Urna 1

P ( N1) = 4 / 7  ⇒ Urna 1

P ( B2) = 6/10 P (B1 ⋂ B2) = P (B1) * P ( B2 | B1 )

= 3/7 * 6/10  

Urna 2 si es negra 

P ( B2) = 5/10 P (N1 ⋂ B2) = P ( N1) * P  ( B2 | N1)

= 4/7 * 5/10 

Finalizacion del ejercicio.

P (B2) = P (B1 ⋂ B2 ) + P ( N1 ⋂ B2 ) 

P (B2) = 3/7  * 6/10  +  4/7 * 5/10 

= 18/70  +  20/70 

= 38/70 

= 0.54